Ruang Hasil Kali Dalam dan Basis Ortonormal

RUANG HASIL KALI DALAM

Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan real V [u,v] dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini :
 1.  [u,v] = [v,u]  ...  (Aksioma Simetris)

 2.  [u+v,w] = [u,w] + [v,w]  ...  (Aksioma Penambahan)

 3.  [ku,v] = k[u,v]  ...  (Aksioma Kehomogenan)

 4.  [u,u]  ≥ 0 dan [u,u] = 0 Û u = 0  ...  (Aksioma Kepositifan)

Contoh :

Jika u = [u1,u2,…,un], dan v = [v1,v2,…,vn] adalah vektor-vektor pada Rn ,maka :

[u,v] = u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn adalah hasil kali dalam pada Ruang Euclides Rn .

Sedangkan u dan v dikatakan ortogonal jika [u,v] = 0. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

Misalnya 

Jawab : 

BASIS ORTONORMAL

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal, jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus). Himpunan ortogonal yang setiap vektornya memiliki panjang 1 disebut himpunan ortonormal.

Secara operasional,

Contoh :

PROSES GRAM-SCHMIDT

Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol, mempunyai sebuah basis ortonormal.

Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma  untuk menentukan ortonormal B={v1,v2,…,vn} untuk V adalah :

Langkah 1. Ambil, v1 = u1/|u1|

Langkah 2. Hitung, v2 , dengan rumus :

Langkah 3. Hitung, v3 , dengan rumus :

Langkah 4. Hitung, vk , dengan rumus :