Basis dan Dimensi

BASIS
Pengertian basis untuk ruang vektor V serupa dengan pengertian basis untuk Rn. Sebelum mengenal basis, kita harus paham dulu tentang cara membangun dan bebas linear. Membangun adalah kombinasi, bergantung dan bebas linear. Dengan pengertian bebas linear, himpunan yang membangun V dapat diperkecil sedemikian mungkin sehingga himpunan yang baru tetap membangun V.

Defenisi Basis

Misalkan V ruang vektor dan  S disebut basis dari V jika memenuhi dua syarat seperti berikut :

 1.  S bebas linear

 2.  S membangun V

Basis dari suatu ruang vektor dapat lebih dari satu. Terdapat 2 basis yang kita ketahui, yaitu :

 a). Basis Standar

      

 b). Basis Tidak Standar

      

Vektor Koordinat dan Matriks Transisi

 *Defenisi Vektor Koordinat

   

    Contoh : 

    

 *Teorema

   Koordinat vektor terhadap suatu basis tertentu adalah tunggal.

 *Defenisi Matriks Transisi

   

    Matriks P adalah matriks tak singular dan P adalah matriks transisi dari U ke B.

    Contoh :

    

Rank dan Nulitas

*Defenisi Ruang Null

 

*Teorema

  Operasi Baris Elementer tidak mengubah ruang null dari suatu matriks.

  Contoh :

   Tentukan basis ruang kosong A(N(A))

  Jawab :

  Defenisi ruang null adalah ruang penyelesaian atau solusi dari persamaan homogen            . Oleh karena itu akan dicari solusi homogen matriks A dengan OBE.

   

DIMENSI

Defenisi Dimensi

Dimensi suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefenisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V.

Contoh :

Untuk contoh sebelumnya, maka dimensi dari ruang null matriks A adalah : 2

Ruang Baris dan Ruang Kolom

*Defenisi Ruang Baris dan Ruang Kolom

  Jika A adalah matriks mxn maka subruang R^n yang direntang oleh vektor-vektor baris

  dari A disebut ruang baris dari A. Subruang dari R^m yang direntang oleh vektor-vektor

  kolom dari A disebut ruang kolom dari A.

  

*Teorema

  Jika suatu matriks U berada dalam bentuk baris eselon, maka vektor-vektor baris dengan

  utama 1 (vektor-vektor tak nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris U dan

  vektor-vektor kolom dengan utama 1 dai vektor-vektor baris membentuk suatu basis

  untuk ruang kolom dari U.