Ruang Hasil Kali Dalam dan Basis Ortonormal

RUANG HASIL KALI DALAM

Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan real V [u,v] dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini :
 1.  [u,v] = [v,u]  ...  (Aksioma Simetris)

 2.  [u+v,w] = [u,w] + [v,w]  ...  (Aksioma Penambahan)

 3.  [ku,v] = k[u,v]  ...  (Aksioma Kehomogenan)

 4.  [u,u]  ≥ 0 dan [u,u] = 0 Û u = 0  ...  (Aksioma Kepositifan)

Contoh :

Jika u = [u1,u2,…,un], dan v = [v1,v2,…,vn] adalah vektor-vektor pada Rn ,maka :

[u,v] = u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn adalah hasil kali dalam pada Ruang Euclides Rn .

Sedangkan u dan v dikatakan ortogonal jika [u,v] = 0. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

Misalnya 

Jawab : 

BASIS ORTONORMAL

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal, jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus). Himpunan ortogonal yang setiap vektornya memiliki panjang 1 disebut himpunan ortonormal.

Secara operasional,

Contoh :

PROSES GRAM-SCHMIDT

Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol, mempunyai sebuah basis ortonormal.

Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma  untuk menentukan ortonormal B={v1,v2,…,vn} untuk V adalah :

Langkah 1. Ambil, v1 = u1/|u1|

Langkah 2. Hitung, v2 , dengan rumus :

Langkah 3. Hitung, v3 , dengan rumus :

Langkah 4. Hitung, vk , dengan rumus :

Basis dan Dimensi

BASIS
Pengertian basis untuk ruang vektor V serupa dengan pengertian basis untuk Rn. Sebelum mengenal basis, kita harus paham dulu tentang cara membangun dan bebas linear. Membangun adalah kombinasi, bergantung dan bebas linear. Dengan pengertian bebas linear, himpunan yang membangun V dapat diperkecil sedemikian mungkin sehingga himpunan yang baru tetap membangun V.

Defenisi Basis

Misalkan V ruang vektor dan  S disebut basis dari V jika memenuhi dua syarat seperti berikut :

 1.  S bebas linear

 2.  S membangun V

Basis dari suatu ruang vektor dapat lebih dari satu. Terdapat 2 basis yang kita ketahui, yaitu :

 a). Basis Standar

      

 b). Basis Tidak Standar

      

Vektor Koordinat dan Matriks Transisi

 *Defenisi Vektor Koordinat

   

    Contoh : 

    

 *Teorema

   Koordinat vektor terhadap suatu basis tertentu adalah tunggal.

 *Defenisi Matriks Transisi

   

    Matriks P adalah matriks tak singular dan P adalah matriks transisi dari U ke B.

    Contoh :

    

Rank dan Nulitas

*Defenisi Ruang Null

 

*Teorema

  Operasi Baris Elementer tidak mengubah ruang null dari suatu matriks.

  Contoh :

   Tentukan basis ruang kosong A(N(A))

  Jawab :

  Defenisi ruang null adalah ruang penyelesaian atau solusi dari persamaan homogen            . Oleh karena itu akan dicari solusi homogen matriks A dengan OBE.

   

DIMENSI

Defenisi Dimensi

Dimensi suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefenisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V.

Contoh :

Untuk contoh sebelumnya, maka dimensi dari ruang null matriks A adalah : 2

Ruang Baris dan Ruang Kolom

*Defenisi Ruang Baris dan Ruang Kolom

  Jika A adalah matriks mxn maka subruang R^n yang direntang oleh vektor-vektor baris

  dari A disebut ruang baris dari A. Subruang dari R^m yang direntang oleh vektor-vektor

  kolom dari A disebut ruang kolom dari A.

  

*Teorema

  Jika suatu matriks U berada dalam bentuk baris eselon, maka vektor-vektor baris dengan

  utama 1 (vektor-vektor tak nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris U dan

  vektor-vektor kolom dengan utama 1 dai vektor-vektor baris membentuk suatu basis

  untuk ruang kolom dari U.

  

Kombinasi Linear dan Kebebasan Linear

KOMBINASI LINEAR
Sebuah vektor x dapat dikatakan kombinasi linear dari vektor u₁, u₂,…, u_{n jika dapat dinyatakan dalam bentuk :} 

dimana k₁, k₂,…,k_{n adalah skalar.}

Contoh :

Misalkan u = [2,-1,3]^{T ,} v = [1,2,-2]^T Apakah x = [8,1,5]^T kombinasi linier dari u dan v?

Jawab :

Perhatikan kombinasi linear x = k₁u+k₂v

Dari kesamaan vektor, diperoleh :

KEBEBASAN LINEAR

Andaikan S = {u₁, u₂,…,u_n} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linear apabila kombinasi linear :

Penyelesaiannya adalah trivial yakni k₁ = 0, k₂ = 0,…, k_n = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tidak bebas linear.

Contoh :

Ruang Vektor dan Ruang Bagian

RUANG-N EUCLIDES
Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (x1,x2,…,xn). Himpunan semua n pasangan bilangan berurut
dinamakan ruang-n euclides dan dinyatakan dengan Rn.
Misalkan u=[u1,u2,…,un]; v=[v1,v 2,…,vn] vektor di Rn.


RUANG VEKTOR

Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, apabila memenuhi aksioma-aksioma seperti berikut :
1.  Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V
2.  u + v = v + u
3.  u + (v + w) = (u + v) + w
4.  Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0
5.  Untuk setiap u di V terdapat -u di V, sehingga u + (-u) = -u + u = 0
6.  Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V
7.  k (u + v) = ku + kv
8.  (k + l)u = ku + lu
9.  k(lu) = (kl)u
10.  1u = u

RUANG BAGIAN
Diketahui V ruang vektor dan U himpunan bagian dari V (memenuhi aksioma ruang vektor), maka U disebut ruang vektor bagian dari V. Untuk menentukan apakah U merupakan ruang vektor bagian dari V cukup diperiksa.

Contoh :