NILAI & VEKTOR EIGEN DAN DIAGONALISASI

Nilai Eigen () adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berordo (nxn), sementara Vektor Eigen 
() adalah vektor kolom bukan nol yang jika dikalikan dengan suatu matriks berordo (nxn) akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri.

Perhatikan gambar di bawah ini!

Dapat disimpulkan bahawa jika terdapat matriks bujur sangkar dikalikan dengan sebuah vektor bukan nol, diatur sedemikian rupa sehingga hasilnya sama dengan perkalian sebuah bilangan skalar dengan vektor tak nol itu sendiri. Itulah yang disebut dengan Nilai Eigen dan Vektor Eigen.

Contoh Soal :
Tentukan nilai dan vektor Eigen dari matriks :


Penyelesaian :




DIAGONALISASI

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P–1AP adalah matrik diagonal. Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A.

Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut :

(1). Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen

(2). Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p1,p2, ... , pn, 

(3). Bantuklah matrik P = [p1 p2 … pn] dan hitunglah P–1

(4). Hitung, D = P–1AP dengan diagonal utama, l1, l2, … ,ln

Contoh :

Vektor eigen dan nilai eigennya :

l = 1 adalah x = [1,1,1] 

l = 2 adalah x = [2,3,3] 

l = 3 adalah x = [1,3,4]                                     

Demikian pembahasan kali ini, semoga dapat bermanfaat:)
Terimakasih buat yang udah baca blog ini hehehe
Wasalamualaikum wr wb^^

SPL Metode Crammer

METODE CRAMMER

Assalamualaikum guys, aku mau lanjut pembahasan yang kemarin yaitu tentang Sistem Persamaan Linear. Tapii, kali ini aku bahas metode selanjutnya yaitu metode Crammer. Gimana sih caranya??

Andaikan AX=B adalah sistem persamaan linear dengan m persamaan linear dan n variabel yang tidak diketahui.

Andaikan determinan matriks A tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linear non homogen solusinya tunggal, yaitu :

dimana Di = det(Ai) determinan matriks berordo (nxn) yang diperoleh dari A dengan cara mengganti kolom ke-i dengan koefisien matriks B.

Contoh Soal :

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan metode crammer.

Penyelesaian :

Bentuk matriks SPL, AX=B adalah :

Karena,

Maka,

Jadi diperoleh :

Seperti itulah cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode Crammer. Semoga kalian suka dan dapat membantu ya, makasih banyak buat yang baca blog ini:))

See u di pembahasan selanjutnya!! Byeee...

Wasalamualaikum wr wb^^

INVERS MATRIKS (Metode Perkalian Matriks Elementer)

METODE PERKALIAN MATRIKS ELEMENTER

Assalamualaikum guyss.. Kali ini aku mau bahas cara mencari nilai invers matriks dengan metode Perkalian Matriks Elementer.

Matriks Elementer adalah matriks yang diperoleh dari operasi elementer yang digunakan pada matriks identitas. Setiap matriks elementer mempunyai invers, dan setiap matriks bujur sangkar yang berordo (nxn) yang mempunyai invers ekuivalen baris terhadap matriks identitas (I).

Matriks Elementer E diperoleh dari transformasi matriks identitas dimana pada kolom ke-I diganti dengan normalitas vektor kolom : 

                         

Contoh Soal :

1. Hitunglah invers dari matriks di bawah ini!

    
2. Hitunglah invers dari matriks di bawah ini!
    

Pembahasan :
1. *Menghitung E1
     
     *Menghitung E2
     
     *Menghitung E3
   
     Jadi, Invers Matriks adalah :

2. *Menghitung E1
 
     *Menghitung E2
 
     *Menghitung E3
 
     *Menghitung E4
 
     Jadi, Invers Matriks adalah :

Nah, itu dia caranya mencari nilai invers matriks dengan menggunakan metode Perkalian Matriks Elementer. Sekian dulu yaa pembahasan kali ini, see u di pembahasan selanjutnya guys!! Hope u like it n thank you:)
Wasalamualaikum wr wb^^

INVERS MATRIKS (Metode Operasi Baris Elementer)

METODE OPERASI BARIS ELEMENTER

Assalamualaikum guyss, balik lagi nih di blog aku, nah aku mau bahas tentang gimana sih cara mencari nilai invers matriks menggunakan METODE OPERASI BARIS ELEMENTER.

Langsung saja ke langkah-langkahnya yes..
1. Tambahkan matriks identitas di sebelah kanan matriks soal yang diketahui
2. Ubah matriks soal dengan OBE menjadi matriks identitas
3. Setelah semuanya selesai, maka matriks identitas yang di sebelah kanan tadi adalah hasil invers
    matriksnya.

Nah misalnya diketahui matriks berordo 3x3
Tentukan nilai inversnya!

Pembahasan :
Langkah 1 :
Tambahkan matriks identitas di sebelah kanan,. Dikarenakan contoh soal matriks berordo 3x3, maka 
matriks identitasnya pun berordo 3x3.


Langkah 2 :
Ubah semua nilai satu per satu sehingga matriks soal yang diketahui tadi menjadi matriks identitas dan matriks identitas yang ditambahkan tadi pun sudah berubah nilainya.

Keterangan:
Baris   = B
Kolom = K
1. Karena B1K1 nilainya sudah 1, maka tidak perlu diubah lagi. B2K1 diubah menjadi 0 dengan cara $R_2-2R_1\to R_2$. Lalu B3K1 juga diubah menjadi 0 dengan cara R3−R1→R3. Lakukan ke semua baris 2&3 pada kolom selanjutnya.
2. Pada Kolom2 kita harus mengubah nilai tersebut agar menjadi matriks identitas yaitu x,1,0. 
Lakukan dengan cara seperti keterangan 1 tadi.
3. Ubah Kolom3 menjadi matriks identitas yaitu x,x,1.
4. Lakukan OBE agar matriks segi tiga atasnya entri selain diagonal utama bisa menjadi nol. Perhatika angka 2,3 dan -3. ( b1k2, b1k3 dan b2k3).
5.  Akhirnya didapat bagian matriks A menjadi identitas (kotak hijau). Sementara matriks Identitas awal akan membentuk sebuah matrik (kotak merah).

Langkah 3 :
Akhirnya sudah didapat nilai invers matriks A tadi adalah matriks yang di dalam kotak berwarna merah, yaitu :




Kurang lebih seperti itulah cara mencari nilai invers matriks menggunakan metode Operasi Baris Elementer. Sekian pembahasan dari saya, sampai jumpa di pembahasan selanjutnya!!!
Wasalamualaikum wr wb^^

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Asalamualaikum semuaa, balik lagi di blog saya yang kali ini saya akan membahas tentang SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Tanpa basa-basi kita langsung ke pembahasannya saja ya, kuyyy.


PENGERTIAN
Sistem persamaan linear adalah persamaan-persamaan linear yang dikorelasikan untuk membuat suatu sistem dan terdiri dari beberapa variabel.
Kata "sistem" disini sangat penting karena menunjukkan bahwa semua persamaan-persamaan harus dipertimbangkan bersamaan dan tidak dapat berdiri sendiri.

BENTUK UMUM
Sistem persamaan linear m dan n yang tidak diketahui dapat ditulis seperti berikut.

 adalah variabel yang tidak diketahui.  adalah koefisiennya.  adalah konstantanya.

Karena pada pembahasan sebelum"nya saya membahas tentang matriks, kali ini saya akan membahas bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan bentuk matriks.

Bentuk umum : 

$$
{\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m}}$$
{\displaystyle a_{11},a_{12},\ldots ,a_{mn}}

A disini adalah matriks mxn, x adalah vektor kolom dengan entri n dan b adalah vektor kolom dengan entri m

Contoh : 

menjadi

METODE - METODE PENYELESAIAN

Kali ini saya membahas 2 metode yaitu : Metode Gauss dan Metode Gauss Jordan.

Dengan metode Gauss dapat digunakan untuk memperoleh matriks eselon baris, sedangkan dengan metode Gauss Jordan untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi.

Sifat-sifat yang dimiliki matriks eselon baris :

   1. Jika baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nolpertama baris tersebut adalah 1.

       (disebut 1 utama)

   2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdi dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan

       bersama-sama di bawah matriks.

   3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama

       dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh dari kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih

       tinggi. 

Sifat-sifat yang dimiliki matriks eselon baris tereduksi :

   1. Jika baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nolpertama baris tersebut adalah 1.

       (disebut 1 utama)

   2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdi dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan

       bersama-sama di bawah matriks.

   3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama

       dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh dari kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih

       tinggi.

   4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.

Contoh Soal :

Tentukan pemecahan SPL :

Pembahasan :

Matriks ekuivalen dengan SPL di atas adalah :

Bentuk matriks yang diperbesar dari SPL tersebut adalah :

a. Metode Gauss

   Bentuk matriks eselon baris (yang ditulis terakhir) diubah kembali dalam SPL menjadi :

   dengan cara substitusi balik, diperoleh x dan y :

   untuk z = 3 

   maka : y - 7/2z = -17/2

                       y = -17/2 + 7/2z

                       y = -17/2 + 21/2 

                       y = 4/2

                       y = 2

   untuk y = 2 dan z = 3, maka : x + y + 2z = 9

                                                                 x = 9 - y - 2z

                                                                 x = 9 - 2 - 6

                                                                 x = 1

   Jadi, pemecahan untuk SPL di atas adalah : x = 1, y = 2, dan z = 3.

b. Metode Gauss Jordan

    Untuk mencari matriks eselon baris tereduksi, maka setelah memperoleh matriks eselon baris

    diperlukan langkah tambahan seperti berikut.

   Matriks ini berbentuk matriks eselon baris tereduksi yang dapat kembali ke bentuk SPL sebagai

   berikut :

   x1 = 1 ; x2 = 2 ; x3 = 3

   Jadi, pemecahan untuk SPL tersebut adalah : x1 = 1 ; x2 = 2 ; x3 = 3.

Nah, seperti itulah cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode Gauss dan metode Gauss Jordan.
Demikian pembahasan saya kali ini, semoga dapat membantu dan bermanfaat bagi kalian semuaaa:))
See you di pembahasan selanjutnya guys!!
Wassalamualaikum wr wb^^

INVERS MATRIKS (Metode Partisi Matriks)

METODE PARTISI MATRIKS

Assalamualaikum guyss, pada pembahasan kali ini saya akan membahas bagaimana sih cara mencari nilai invers matriks menggunakan METODE PARTISI MATRIKS.

Pertama, kita harus tahu dulu apa itu partisi matriks. Partisi matriks adalah cara dimana kita membagi suatu matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil, yang sidebut dengan sub matriks. Tujuan dari membagi suatu matriks menjadi matriks yang lebih kecil adalah agar lebih mudah dalam mengerjakannya. Baiklah, kita langsung saja ke contoh soalnya ya guys cuss..

Nah, kali ini matriksnya berordo 4x4 ya guys, dimana diketahui :

Setelah itu, kita bagi menjadi 4 bagian matriks yang ukurannya lebih kecil.

Kemudian, kita menghitung L.

Sehingga didapat

Kembali menghitung sub matriks yang lain.

Selanjutnya menghitung L.

Jadi, didapatlah

Selanjutnya menghitung B.

Jadi, hasilnya adalah

Nah, seperti itulah cara mencari invers matriks menggunakan metode partisi matriks. 

Demikian pembahasan saya kali ini, semoga dapat membantu dan bermanfaat bagi kalian semua:)))

See you di pembahasan selanjutnya guys!!

Wassalamualaikum wr.wb ^^